Métodos Computacionais no Ensino da Física

1.2 Problema exemplo

Para apresentar os principais recursos da planilha e demonstrar como utilizá-los, o mais conveniente é escolher como ilustração algum assunto de Física. Optou-se por estudar a compressão e o aquecimento (simultâneos) de um gás ideal. Trata-se de um problema que pode ser formulado no quadro de um curso de Física Geral, mas cuja análise quantitativa é suficientemente complexa para justificar o uso da planilha. Começa-se, portanto, por revisar os princípios e relações relevantes.

Dispõe-se de certa quantidade de gás. É conveniente medir esta quantidade em mols (mol). Temos então n mols de gás.

Supõe-se que um aquecedor fornece calor a este gás à taxa temporal q constante. Portanto, o calor fornecido no (pequeno) intervalo de tempo dt é dQ=qdt.

Um motor, que trabalha à potência constante w, comprime o gás. Portanto, o trabalho realizado sobre o gás no intervalo de tempo dt é dW=wdt. Como se sabe,

onde p é a pressão e dV a (pequena) variação do volume V.

Pela primeira lei da Termodinâmica, o aumento de energia interna E, devido ao fornecimento de calor e ao trabalho realizado sobre o gás, é

As outras relações que serão utilizadas dizem respeito especificamente ao caso particular de um gás ideal. A primeira é a lei dos gases ideais,

onde T é a temperatura absoluta e R a constante universal dos gases, cujo valor no sistema SI é R=8,31 J/mol.K .

A segunda relação é a expressão da energia interna em função da temperatura. Na suposição de que os corpúsculos do gás possuem apenas os três graus de liberdade de translação, esta expressão toma a forma

Considerar-se-ão os valores de q e w como dados do problema. Utilizar-se-ão as unidades cal/s e W, respectivamente, para especificá-las. [Não confunda a notação W para o watt, unidade de potência, com a notação W, que usamos para o trabalho.] Para transformar q em unidades SI, é preciso o fator de conversão

Começa-se (em t=0) com um volume V₀ de gás à temperatura T₀ e pressão p₀. Esta é convenientemente especificada em atmosferas (atm). Porém, a unidade SI de pressão é o pascal (1 Pa=1 N/m²) e é preciso realizar a conversão, lembrando que

O número de mols do gás pode ser calculado invocando a lei dos gases ideais: e a energia interna inicial é

Escolhe-se um valor adequado (pequeno) para o intervalo de tempo dt. Isso determina os valores de dQ, dW e dE.

Deseja-se calcular os valores das quantidades termodinâmicas nos instantes t_i, i=0,1,2,...N, tais que t_i+1=t_i+dt. Procede-se por recursão: supõe-se que esses valores já foram determinados no instante t_i e determina-se os valores correspondentes no instante t_i+1 seguindo os passos explicitados abaixo.

1. Calcula-se a energia interna em t_i+1 a partir do seu valor em t_i por
   E_i+1=E_i+dE=E_i+(q+w)dt.

   (1.2.9)
2. Deduz-se, então, a temperatura no instante de tempo t_i+1 usando a sua relação com a energia interna:
   T_i+1=2E_i+1/(3nR).

   (1.2.10)
3. Calcula-se o volume em t_i+1 a partir do seu valor em t_i por
   V_i+1=V_i+dV_i ,

   (1.2.11)
   em que o incremento de volume é calculado a partir do trabalho realizado, ou seja, usando
   dW=wdt=-p_idV_i .

   (1.2.12)
   Isto resulta em
   V_i+1=V_i-wdt/p_i .

   (1.2.13)
   Aqui há uma aproximação devido à discretização: usa-se o valor da pressão no começo do intervalo (em t_i), desprezando a sua variação durante o intervalo de tempo (t_i+1-t_i). Obviamente, isso será justificado apenas se o intervalo de tempo for escolhido suficientemente pequeno.
4. Finalmente, calcula-se a nova pressão, em t_i+1, usando a lei dos gases ideais:
   p_i+1=nRT_i+1/V_i+1.

   (1.2.14)

Pode-se, agora, montar a planilha!