Soluçães da lista de exercícios 2

Triângulo de posição e Transformações de coordenadas

1. A figura deve ficar mais ou menos como a abaixo, a menos de dois detalhes, como:
   
   • O eixo PS -PN devia estar mais inclinado na direção do horizonte, pois se a latitude é -30°, a altura do polo sul é 30°, e na figura a algura do polo sul está claramente maior do que isso;
   • o lado do triângulo de posição que fica entre Z e PS, tem valor conhecido, pois se a latitude vale -30°, esse lado vale: 90-|φ| = 60°

   Os demais lados e ângulos têm que ficar indicados como nessa figura, pois não é foi dado o valor da declinação nem o tempo apóo a passagem meridiana.

   No caso da figura acima, a posição da estrela na esfera celeste é compatível com um astro de declina&ccdil;ão ∼-40°, com azimute ∼250° (portanto A-180° ∼ 70°) e ângulo horário H ∼ 6^h.

2. Dados:
   • φ= -30°, z = 25°10′=25,1666°; e A = 92°35′= 92,58333°.
   Calcular a declinação da estrela e seu ângulo horário no instante da observação.
   
   

   Para conhecer a declinaçã, podemos aplicar a equação (5) da aula de Trigonometria esférica:
   sen δ = sen φ cos z + cos φsen z cos A
   Substituindo os valores dados:
   sen δ=(-0,5*0,9050)+(0,8660*0,4253*-0,0451)
   sen δ = -0,4525-0,0166 = -0,4691. Assim, δ = -27° 58´33´´
   

   Para conhecer o ângulo horário, podemos aplicar a equação (6) da aula de Trigonometria esférica:
   
   cos H = cos z secφ sec δ - tan φ tan δ
   cos H = (0,9051*1,1547*1,1323-(0,5774*0,5312)= 1,1834 - 0,3067 = 0,8767
   Assim, H tem como cosseno o valor de 0,8787, logo H= 28,7546° ou H = - 28,7546°, pois cos(-H)=cosH . Para saber qual o verdadeiro valor de H, temos que usar a informação sobre o azimute da estrela, pois ele nos diz se a estrela está do lado leste ou oeste, e portanto se está antes ou depois da passagem meridiana. No caso, o azimute é menor do que 180°, logo a estrela ainda n&atilge;o passou o meridiano, e seu ângulo horário é negativo.
   assim H = -28° 45'51"

3. Uma estrela observada em um lugar de latitude φ = 38° 59′ tem declinação δ = -38° 32′ e H = 3h. Calcular o azimute e a altura da estrela no instante da observação.

   Como conhecemos φ, δ e H, podemos aplicar a equação (4) da trigonometria esférica para conhecer z:
   
   cos z = sen δsenφ + cosδcosφcos H
   → z = 87°49′08′′ e h = 2°10′52′′
   Para conhecer o azimute, podemos agora aplicar a equção (9):
   cos A = (cos φsenδ - cosδsenφcosH)/sen z
   cos A =
   A = 147,3413° ou A = 212,6582°

   Como o astro já passou pelo meridiano, temos que o azimute deve estar no terceiro ou quarto quadrante. Assim, temos A = 212,6582° = 212°39′29,52′&prime

   4.    Uma estrela tem α = 60° e δ=45°. Outra tem α = 30° e δ=45°. Qual a separação angular entre as duas estrelas?

   R.: Chamando d a distância angular entre as duas estrelas, e A e B as estrelas, temos que:
   cos d = sen &delta_Asen &delta_B+ cos &delta_A cos&delta_Bcos (&alpha_A- &alpha_B)

   d = arc cos (sen 45°sen 45°+ cos 45° cos45°cos (60°-30°))= 0,5 = ),5 x 0,8660 = 0,9330= 21,0906° = 21°5′26′′

   5.    Que condição indica que um astro aparece ou desaparece no horizonte? R.: Sua distância zenital é sempre 90d quando do nascer ou ocaso. O Azimute do nascer do astro esta sempre entre 0d e 180d e o ocaso entre 180d e 360d. Usando essa condição para a estrela Rigel (β Centauri), δ = -60° 40,5′, observada no Rio de Janeiro (φ = 23°S ) determine

   a.     O azimute da estrela no instante do seu nascimento.

   R.: No nascer e no ocaso: cos A = sen δ sec φ = sen δ/cosφ
   δ = -60,6750° → sen δ = -0,8719
   φ = -23 ° → cos φ = 0,9205
   cos A = -0,8719/(0,9205) = -0,9472 → A = 161,2986 ° (astro a leste) ou A = 198,7013 ° (astro a oeste) 675

   Portanto, no nascimento o azimute é 161° 18′

   b.    O tempo que essa estrela permanece acima do horizonte.

   R.: Ela permanece acima do horizonte umtempo igual ao dobro de seu angulo horário no ocaso.
   No nascer e no ocaso vale a relação:
   cos H = - tanφ tanδ = - tan (-23°) tan(-60,6750°) = - 0,7556 → H = 139,0807° (astro a oeste) ou H = 220,9193° (astro a leste); Portanto, no ocaso seu ângulo horário é 139,0807° = 9,2720 h. Logo ela fica acima do horizonte 2 x 9,2720h = 18,5441 h = 18h 32min 38,73s

   6.    Um observador em Porto Alegre enxerga a estrela Achernar, cuja ascensão reta é α = 1h36min43s, com um ângulo horário H = 2h5min25s.

   a.     Qual a hora sideral local?

   R.: HS = H + a = 3h42min08s

   b.    Sabendo que a declinação de Achernar é δ = -57° 12′, determine quantas horas essa estrela fica acima do horizonte em Porto Alegre.

   R.: Calculando o ângulo horário (cos H = -tanδtanφ) temos H=153,6309 ° = 10,2421 h que multiplicado por 2 fornece um tempo de 20,48h = 20h 28min48s

   7.    Qual é o máximo ângulo horário para o qual um observador em Porto Alegre pode enxergar um astro de declinaçâo δ= +25°?

   R.: Ao nascer ou se por teremos para este astro cos H = -tanφtanδ= -0,574 x 0,4663 = -0,2692 → = H = 74°23′ = 4h 57min 32s.

   8.    Considere o Sol no dia do solstício de dezembro. Assumindo que durante todo este dia sua declinação se mantém constante, de valor δ = -23°27′, responda:

   a.     Quais os valores de H do Sol no instante do seu nascer e de seu ocaso em Porto Alegre (φ = -30)°?

   Os itens a, b e c deste problema estão resolvidos como exemplo na aula de trigonometria esférica

   d.    Desenhe o triângulo de posição do Sol nesse dia, para um observador em Porto Alegre, num instante em que o Sol está com ângulo horário de aproximadamente 3h (a oeste).