4.8 Exercício
Ao estudar o material desta aula, você deverá ter construído o arquivo .modellus no qual estuda-se o movimento do projétil com arraste do ar, com as seguintes configurações:
- a lei de arraste linear é utilizada na modelagem;
- a velocidade inicial pode ser ajustada arrastando com o mouse a ponta do vetor que a representa;
- os valores da massa e do coeficiente de arraste podem ser modificados com cursores (indicadores de nível);
- as energias cinética, potencial, e total são calculadas a cada instante e os seus valores são mostrados no gráfico;
- a potência dissipada também é calculada a cada instante e o seu valor é mostrado na animação;
- o projétil é representado na animação por uma bola, com trajetória, rastro, vetor velocidade e vetor força resultante;
- a tabela mostra a evolução das componentes da velocidade;
- na janela de notas estão fornecidas algumas explicações.
Guarde este arquivo e faça uma cópia com outro nome, na qual você vai fazer algumas modificações; a principal delas será utilizar a lei de arraste quadrático (e não mais linear) na modelagem. Isto significa supor que o módulo da força de arraste é proporcional ao quadrado do módulo da velocidade. Na verdade, para um movimento relativamente rápido, como o de uma bola de futebol, esta lei é mais adequada que a lei linear. Na notação da Equação 4.1.1, arraste quadrático significa escolher a função Φ da forma
![](mdEquacoes/mdEq_PhiQuad.png)
,
(4.8.1)
com
c uma constante. Claramente, o módulo da força é então
![](mdEquacoes/mdEq_FaQuad.png)
,
(4.8.2)
justificando a expressão "arraste quadrático". O coeficiente
c depende do tamanho e da forma do projétil, bem como das propriedades do fluído no qual ele se movimenta. É possível justificar a seguinte forma para esta dependência:
![](mdEquacoes/mdEq_Rayleigh.png)
,
(4.8.3)
onde
ρ é a densidade do fluído,
A a seção transversal do projétil e
C um coeficiente adimensional que depende da forma do projétil. No caso de uma esfera,
C = 0,47. Evidentemente, para uma bola de raio
R,
![](mdEquacoes/mdEq_AEsfera.png)
.
(4.8.4)
A densidade do ar em condições normais de temperatura e pressão é aproximadamente
ρ = 1,2 kg/m3.
Faça então as seguintes adaptações:
- a força de arraste é dada pelas Equações 4.1.1, 4.8.1, 4.8.3 e 4.8.4;
- ρ e C são fixos (valores indicados acima), mas o raio R da bola pode ser ajustado pelo usuário. Ou seja, o cursor que servia para ajustar diretamente o coeficiente de arraste linear serve agora para ajustar o raio da bola. A força de arraste é calculada a partir deste valor pelo programa. Infelizmente, não é possível ligar dinamicamente o tamanho da bola visível na animação a uma variável da modelagem, de maneira que a modificação do raio da bola não será observável na animação.
- além da força resultante, a força peso e a força de arraste estão mostradas separadamente na animação. Os vetores devem ser dispostos de maneira a evidenciar a composição vetorial das forças, Equação 4.1.5. Para mais claridade, é melhor colocar este diagrama de força numa área separada da janela de animação, sem ligar as forças à Partícula que representa a bola. Na representação das forças, utilize uma escala tal que o diagrama seja bem fácil de entender, não demasiadamente pequeno.
- como antes, a potência dissipada é mostrada na animação. Atenção, a expressão utilizada no cálculo deve ser adaptada ao caso do arraste quadrático.
- em vez de mostrar na tabela as duas componentes da velocidade, mostre o módulo da velocidade e a velocidade terminal. A velocidade terminal é a velocidade limite que resulta depois de um grande tempo de queda do projétil, quando a força de arraste equilibra o peso, de maneira que o projétil cai com velocidade constante. Insira na janela de modelo um comando para calcular a velocidade terminal.
As demais configurações ficam como estão no exemplo da aula. Evidentemente, as informações fornecidas na janela de notas devem ser adaptadas à nova situação. É necessário explicar como é calculada a força de arraste. Comentários adequados sobre o que se observa na animação, no gráfico, e na tabela também devem ser incluídos.
Mais informações sobre o arraste podem ser obtidas na wikipedia.